Решите неравенство [tex]sin x\leq 7cosx +5[/tex]
((Вот, что пока у меня есть))

Решим неравенство:

\[\sin x \leq 7\cos x+5\]

Перенесём всё с тригонометрическими функциями влево:

\[\sin x-7\cos x \leq 5\]

Выразим левую часть через одну синусоиду:

\[\sin x-7\cos x=5\sqrt{2}\sin(x-\alpha)\]

где \( \cos \alpha=\frac{1}{5\sqrt{2}} \), \( \sin \alpha=\frac{7}{5\sqrt{2}} \), то есть \( \alpha=\arctan 7 \).

Получаем:

\[5\sqrt{2}\sin(x-\alpha)\leq 5\]

\[\sin(x-\alpha)\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Для синуса это выполняется при:

\[x-\alpha \in [-\pi;\frac{\pi}{4}]\cup[\frac{3\pi}{4};\pi]+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Значит, ответ:

\[x\in[\arctan 7-\pi;\arctan 7+\frac{\pi}{4}]+2\pi k\]

или

\[x\in[\arctan 7+\frac{3\pi}{4};\arctan 7+\pi]+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}\]

0 0 Пожаловаться