Задача 2. Денис заполняет таблицу 4x4 числами так, чтобы сумма чисел в любых двух соседних по стороне клетках была одинаковой. Андрей заметил, что в нижнем левом углу таблицы стоит 20, а в нижнем правом углу таблицы — 19. Чему равна сумма чисел во всей таблице?

Обозначим сумму двух соседних по стороне клеток через $S$.

Рассмотрим нижний ряд таблицы. В каждой паре соседних клеток сумма должна быть одинаковой:

Пусть второе число в нижнем ряду равно $x$. Тогда:

• первая и вторая клетки: $20+x=S$;

• вторая и третья клетки: $x+20=S$;

• третья и четвертая клетки: $20+\text{(правый угол)}=S$.

Так как в нижнем правом углу стоит 19, получаем:

Значит,

Тогда второе число в нижнем ряду:

Нижний ряд имеет вид:

Его сумма:

Теперь смотрим на следующий ряд сверху. Каждая клетка вместе с клеткой под ней должна давать 39, поэтому числа меняются на противоположные:

Сумма этого ряда тоже равна:

Так как при переходе к следующему ряду числа снова меняются местами, все четыре строки имеют сумму 78.

Итоговая сумма всей таблицы:

Ответ: 312.