В классе учатся 20 человек. Размышляя, каким девочкам отправить валентинку на 14 февраля, каждый мальчик составил список из всех симпатичных ему девочек-одноклассниц (возможно, пустой). Известно, что не существует трёх мальчиков, у которых списки совпадают по количеству девочек. Какое наименьшее количество девочек может быть в классе?

Пусть в классе \(g\) девочек. Тогда мальчиков \(20-g\).

Каждый мальчик мог записать в список \(0, 1, 2, \ldots, g\) девочек. Значит, возможны \(g+1\) разных количества девочек в списке.

По условию не может быть трёх мальчиков с одинаковым количеством девочек в списке. Значит, для каждого количества может быть не больше двух мальчиков:

\[20-g \le 2(g+1)\]

Решим неравенство:

\[20-g \le 2g+2\]

\[18 \le 3g\]

\[g \ge 6\]

Значит, девочек должно быть не меньше 6. Это возможно: при \(g=6\) мальчиков \(14\), а количеств списков \(7\): от \(0\) до \(6\). На каждое количество можно взять по 2 мальчика.

Ответ: 6 девочек.

0 0 Пожаловаться