xy = ctg y, нужно найти производную первого и второго порядка.

Дано неявное уравнение:

\[xy=\operatorname{ctg} y\]

Считаем, что \(y\) зависит от \(x\). Дифференцируем обе части:

\[y+xy'=-\frac{y'}{\sin^2 y}\]

Перенесём слагаемые с \(y'\) в одну сторону:

\[y=-y'\left(x+\frac{1}{\sin^2 y}\right)\]

Производная первого порядка:

\[y'=-\frac{y}{x+\frac{1}{\sin^2 y}}\]

Обозначим \(A=x+\frac{1}{\sin^2 y}\). Тогда \(y'=-\frac{y}{A}\).

Вторая производная:

\[y''=\frac{2y}{A^2}+\frac{2y^2\operatorname{ctg} y}{A^3\sin^2 y}\]

То есть:

\[y''=\frac{2y}{\left(x+\frac{1}{\sin^2 y}\right)^2}+\frac{2y^2\operatorname{ctg} y}{\sin^2 y\left(x+\frac{1}{\sin^2 y}\right)^3}\]

0 0 Пожаловаться