Вычислите объёмы тел вращения, изображённых на рис. 1.48, 1.49, применяя формулу.

Ответы на вопрос

Отвечает Емельянова Яна.

Чтобы вычислить объёмы тел вращения по формулам, нужно понимать, какие именно фигуры вращаются и вокруг какой оси. Так как рисунки 1.48 и 1.49 у меня нет, я дам пошаговое объяснение, как это делается на примере классических тел вращения.

1. Основная формула объёма тела вращения

Если плоская фигура на плоскости $xy$ вращается вокруг оси $x$ (или $y$ ), объём $V$ вычисляется по интегралу:

Вращение вокруг оси $x$ :

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx

где $f(x)$ — функция, задающая верхнюю границу фигуры (от оси вращения).

Вращение вокруг оси $y$ :

V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy

где $g(y)$ — расстояние от оси вращения до границы фигуры.

Если фигура ограничена двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$ , объём равен:

V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) dx

2. Примеры применения

Пример 1: Конус (возможный вариант рисунка 1.48)

Пусть вращается треугольник с вершинами в точках $(0,0)$ , $(0,h)$ , $(R,0)$ вокруг оси $x$ .
Функция прямой: $y = h - \frac{h}{R}x$

Тогда объём:

V = \pi \int_0^R \left(h - \frac{h}{R}x\right)^2 dx

Раскроем скобки и интегрируем:

\int_0^R \left(h^2 - 2\frac{h^2}{R}x + \frac{h^2}{R^2}x^2\right) dx = \left[ h^2 x - \frac{h^2}{R} x^2 + \frac{h^2}{3R^2} x^3 \right]_0^R = h^2 R - h^2 R + \frac{h^2}{3} R = \frac{1}{3} \pi R^2 h

То есть получаем стандартную формулу объёма конуса.

Пример 2: Цилиндр (возможный вариант рисунка 1.49)

Если вращается прямоугольник высотой $h$ и шириной $R$ вокруг своей стороны (ось $x$ ), функция: $y = h$ , тогда:

V = \pi \int_0^R h^2 dx = \pi h^2 R

Это стандартный объём цилиндра.

3. Общий порядок действий

Определяем границы интегрирования $a$ и $b$ (по оси, вокруг которой вращается фигура).
Определяем функцию $f(x)$ или $g(y)$ , которая задаёт форму фигуры относительно оси вращения.
Подставляем в формулу объёма $V = \pi \int [\text{функция}]^2 dx$ .
Если есть две границы кривых, вычитаем меньшую из большей.
Интегрируем и упрощаем результат.

Если рисунки 1.48 и 1.49 — это стандартные конус, цилиндр или параболоид вращения, объёмы будут аналогичны приведённым примерам.

Хочешь, я могу нарисовать примерный график, чтобы показать, как выбираются функции для интеграла?