Помогите с производной поэтапно Задана функция f(x)=(x^2)/(0,5^1-2x) Найдите f'(1)

Ответы на вопрос

Отвечает Киселёва Наташа.

Конечно! Давай разберём задачу шаг за шагом, как если бы я отвечал на форуме.

Нам дана функция:

f(x) = \frac{x^2}{0.5^{1-2x}}

и нужно найти производную $f'(x)$ и затем подставить $x = 1$ .

Можно записать знаменатель через отрицательную степень:

0.5^{1-2x} = (1/2)^{1-2x} = 2^{-(1-2x)} = 2^{2x-1}

Тогда функция примет вид:

f(x) = \frac{x^2}{2^{2x-1}} = x^2 \cdot 2^{-(2x-1)}

У нас произведение: $x^2 \cdot 2^{-(2x-1)}$ . Напомним, что производная экспоненты $a^u$ по $x$ равна:

\frac{d}{dx} a^{u(x)} = a^{u(x)} \cdot \ln(a) \cdot u'(x)

Обозначим $u(x) = -(2x-1) = -2x + 1$ .

f(x) = x^2 \cdot 2^{u(x)}

Используем правило произведения: $(g \cdot h)' = g' h + g h'$

$g = x^2 \implies g' = 2x$
$h = 2^{u(x)} \implies h' = 2^{u(x)} \cdot \ln 2 \cdot u'(x) = 2^{u(x)} \cdot \ln 2 \cdot (-2) = -2 \ln 2 \cdot 2^{u(x)}$

Тогда

f'(x) = g' h + g h' = 2x \cdot 2^{-(2x-1)} + x^2 \cdot (-2 \ln 2) \cdot 2^{-(2x-1)}

f'(x) = 2^{-(2x-1)} \left( 2x - 2 x^2 \ln 2 \right)

Можно вынести $2$ за скобки:

f'(x) = 2^{-(2x-1)} \cdot 2 \left( x - x^2 \ln 2 \right) = 2^{-(2x-1)+1} (x - x^2 \ln 2)

2^{-(2x-1)+1} = 2^{-(2x-1)+1} = 2^{-2x+2} = 2^{2-2x}

Итак:

f'(x) = 2^{2-2x} \cdot (x - x^2 \ln 2)

f^{'} (1) = 2^{2 - 2 \cdot 1 <}

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Ответы на вопрос