Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — центр правильного треугольника в основании. Тогда $SO$ — высота пирамиды.

Боковое ребро $SA$ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Его проекцией на основание является отрезок $AO$. Поэтому в прямоугольном треугольнике $SAO$:

Так как $\tan 45^\circ=1$, получаем:

Расстояние от центра равностороннего треугольника до его вершины равно радиусу описанной окружности:

Значит, высота пирамиды:

Площадь основания — площадь равностороннего треугольника со стороной $8$:

Объём пирамиды: