Довести, що функція не є періодичною / Доказать, что функция не периодична:

y = cos|√x|

Рассмотрим функцию
$y = \cos|\sqrt{x}|$.
Так как при $x \ge 0$ имеем $|\sqrt{x}| = \sqrt{x}$, то функция упрощается до
$f(x) = \cos(\sqrt{x})$, область определения: $x \ge 0$.

Предположим противное

Пусть функция периодична. Тогда существует число $T > 0$ такое, что

То есть:

Выберем специальную последовательность

Возьмём точки, где функция принимает значение 1:

Тогда:

Если функция периодична, то:

Значит существует целое $m_n$, что:

Возводим в квадрат:

Подставим $x_n$:

Отсюда:

Получаем противоречие

Правая часть зависит от $n$, потому что $m_n$ должен меняться при изменении $n$.
Но левая часть — это фиксированное число $T$.

Следовательно, невозможно, чтобы одно и то же $T$ удовлетворяло равенству для всех $n$.

Вывод

Противоречие показывает, что не существует периода $T > 0$.
Значит функция

не является периодической.