4. Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимает участие: а) 6 лыжников; б) 8 лыжников; в) 10 лыжников; г) k лыжников?

5. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова: а) «учебник»; б) «автор»; в) «фонарь»; г) «боб»?

7*. Выпишите все натуральные делители числа: а) 4!; б) 5!; в) 6!.

8*. Докажите, что если n < m, то m! делится на n! без остатка.

4. Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт?

Каждый спортсмен получает свой номер старта. Порядок выхода лыжников полностью определяется перестановкой всех участников.

Если участвует $n$ лыжников, то число возможных последовательностей равно числу перестановок:

а) Для 6 лыжников:

Ответ: 720 последовательностей.

б) Для 8 лыжников:

Ответ: 40320 последовательностей.

в) Для 10 лыжников:

Ответ: 3628800 последовательностей.

г) Для $k$ лыжников:

Ответ: $k!$ последовательностей.

5. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова:

Количество возможных последовательностей зависит от того, есть ли одинаковые буквы. Используем формулу:

где $n$ — количество всех букв, а $n_1,n_2,\ldots$ — количества одинаковых букв.

а) «учебник»

В слове 7 разных букв:

у, ч, е, б, н, и, к.

Значит:

Ответ: 5040 последовательностей.

б) «автор»

В слове 5 разных букв:

а, в, т, о, р.

Ответ: 120 последовательностей.

в) «фонарь»

В слове 6 разных букв:

ф, о, н, а, р, ь.

Ответ: 720 последовательностей.

г) «боб»

В слове 3 буквы, но буква «б» повторяется 2 раза.

Возможные варианты:

боб, ббо, обб.

Ответ: 3 последовательности.

7*. Выпишите все натуральные делители числа:

а) $4!$

Сначала найдём число:

Делители числа 24:

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

б) $5!$

Разложение:

Все натуральные делители:

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

в) $6!$

Разложение:

Все натуральные делители:

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720.

8*. Докажите, что если $n$, то $m!$ делится на $n!$ без остатка.

По определению факториала:

Первые $n$ множителей образуют число:

Тогда:

Число $(n+1)(n+2)\cdots m$ является натуральным числом, значит $m!$ представлено как произведение $n!$ и целого числа.

Следовательно: