Скільки первісних має одна функція?

Одна функція може мати нескінченно багато первісних.

Якщо функція $F(x)$ є первісною для функції $f(x)$ на певному проміжку, то будь-яка функція вигляду

де $C$ — довільна стала, також є первісною для $f(x)$.

Це пояснюється тим, що похідна сталої дорівнює нулю:

Приклад:

Нехай задано функцію:

Її первісними будуть:

• $F_1(x)=x^2$;

• $F_2(x)=x^2+3$;

• $F_3(x)=x^2-5$;

• $F_4(x)=x^2+10$.

Усі ці функції мають однакову похідну:

Оскільки стала $C$ може набувати нескінченно багатьох значень, кількість первісних також нескінченна.

Загальна формула всіх первісних:

де:

• $f(x)$ — задана функція;

• $F(x)$ — одна з її первісних;

• $C$ — довільна стала.

Висновок: якщо функція має хоча б одну первісну на певному проміжку, то вона має нескінченно багато первісних, які відрізняються одна від одної лише на сталу.