1)Вычислить : cos^4 pi/12- cos ^4 5pi/12;
2)Решить уравнение : 1+2 sin^2x = 5cosx -4cos^2x .

1) Используем разность четвёртых степеней:

\[\cos^4 \frac{\pi}{12}-\cos^4 \frac{5\pi}{12}=\cos^4 15^\circ-\cos^4 75^\circ\]

Так как \(\cos 75^\circ=\sin 15^\circ\), получаем:

\[\cos^4 15^\circ-\sin^4 15^\circ=(\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ)(\cos^2 15^\circ+\sin^2 15^\circ)\]

\[=\cos 30^\circ \cdot 1=\frac{\sqrt3}{2}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt3}{2}\).

2) Решим уравнение:

\[1+2\sin^2 x=5\cos x-4\cos^2 x\]

Заменим \(\sin^2 x\) на \(1-\cos^2 x\):

\[1+2(1-\cos^2 x)=5\cos x-4\cos^2 x\]

\[3-2\cos^2 x=5\cos x-4\cos^2 x\]

\[2\cos^2 x-5\cos x+3=0\]

Пусть \(t=\cos x\). Тогда:

\[2t^2-5t+3=0\]

\[(2t-3)(t-1)=0\]

\[t=\frac32\] или \[t=1\]

Так как \(\cos x\) не может быть больше \(1\), остаётся \(\cos x=1\).

Ответ: \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).

0 0 Пожаловаться