Делится ли число 111...1 81 раз на 81? Опишите разныеми способами подробно чтоб даже отсталый понел

Да, число из 81 единицы делится на \(81\).

Обозначим это число так: \(R=111\ldots111\), где всего \(81\) единица.

Способ 1. Разобьём число на группы по 9 цифр:

\[ R=111111111\cdot(1+10^9+10^{18}+\ldots+10^{72}). \]

Первый множитель \(111111111\) делится на \(9\), потому что сумма его цифр равна \(9\).

Во втором множителе \(9\) слагаемых. Каждое число вида \(10^{9k}\) при делении на \(9\) даёт остаток \(1\), поэтому сумма даёт остаток \(9\), то есть делится на \(9\).

Получается произведение двух чисел, кратных \(9\):

\[ 9\cdot9=81. \]

Значит, \(R\) делится на \(81\).

Способ 2. Через формулу:

\[ R=\frac{10^{81}-1}{9}. \]

Так как \(81=3^4\), у числа \(10^{81}-1\) достаточно множителей \(3\), чтобы после деления на \(9\) осталось ещё \(81\). Поэтому \(R\) кратно \(81\).

0 0 Пожаловаться