Сумма трёх первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 27. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 3, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии.

Пусть первые три члена арифметической прогрессии: \(a-d\), \(a\), \(a+d\). Тогда

\[3a=27,\qquad a=9.\]

После изменения получаем числа \(8\), \(8+d\), \(12+d\). Это геометрическая прогрессия, значит:

\[(8+d)^2=8(12+d).\]

Отсюда \(d=4(\sqrt{3}-1)\), так как прогрессия возрастающая. Первые члены геометрической прогрессии:

\[8,\quad4(1+\sqrt{3}),\quad4(2+\sqrt{3}).\]

Её знаменатель \(q=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\). Сумма первых семи членов равна

\[S_7=89+48\sqrt{3}.\]

0 0 Пожаловаться