5/3 x^3 - 5x - 2 = a. При каких значениях a уравнение имеет два корня?

Рассмотрим функцию:

\[f(x)=\frac{5}{3}x^3-5x-2\]

Её критические точки найдём по производной:

\[f'(x)=5x^2-5=5(x^2-1)\]

Отсюда \(x=-1\) и \(x=1\).

Вычислим значения функции:

\[f(-1)=\frac{4}{3},\qquad f(1)=-\frac{16}{3}\]

Уравнение имеет ровно два различных корня, когда прямая \(y=a\) касается графика функции в точке максимума или минимума.

\[\boxed{a=\frac{4}{3}\quad \text{или}\quad a=-\frac{16}{3}}\]

0 0 Пожаловаться