100 баллов. Найти интеграл (ch(t) — гиперболический косинус):
[tex]\displaystyle \int \dfrac{dt}{\text{ch}^3 t}.[/tex]
С объяснением, пожалуйста.

Используем замену \(u=\sinh t\). Тогда \(du=\cosh t\,dt\).

Преобразуем подынтегральное выражение:

\[\int\frac{dt}{\cosh^3 t}=\int\frac{\cosh t\,dt}{\cosh^4 t}.\]

Так как \(\cosh^2 t=1+\sinh^2 t=1+u^2\), получаем:

\[\int\frac{du}{(1+u^2)^2}.\]

Известный результат:

\[\int\frac{du}{(1+u^2)^2}=\frac{u}{2(1+u^2)}+\frac{1}{2}\arctan u+C.\]

Возвращаемся к переменной \(t\):

\[\boxed{\int\frac{dt}{\cosh^3 t}=\frac{\sinh t}{2\cosh^2 t}+\frac{1}{2}\arctan(\sinh t)+C}.\]

Первое слагаемое также можно записать как \(\frac{1}{2}\tanh t\,\operatorname{sech} t\).

0 0 Пожаловаться