Найти модуль и аргумент комплексного числа:
[tex]z=1+\sqrt{3i}[/tex]

Понимаем запись так: \(z=1+\sqrt{3i}\).

\[ \sqrt{3i}=\sqrt{\frac{3}{2}}+i\sqrt{\frac{3}{2}} \]

Тогда

\[ z=1+\sqrt{\frac{3}{2}}+i\sqrt{\frac{3}{2}} \]

Модуль:

\[ |z|=\sqrt{\left(1+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2}=\sqrt{4+\sqrt{6}} \]

Действительная и мнимая части положительны, значит аргумент лежит в первой четверти:

\[ \arg z=\arctan\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1+\sqrt{\frac{3}{2}}}=\arctan\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

0 0 Пожаловаться