Докажите тождество:
[tex]\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{2a-2\sqrt{a^2-b}}[/tex]

Пусть выражения имеют смысл: \( b \ge 0 \) и \( a \ge \sqrt{b} \). Обозначим левую часть через \( x \):

\[ x=\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}. \]

Возведём в квадрат:

\[ x^2=(a+\sqrt{b})+(a-\sqrt{b})-2\sqrt{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}. \]

Упростим:

\[ x^2=2a-2\sqrt{a^2-b}. \]

Так как \( x \ge 0 \), то можно извлечь корень:

\[ x=\sqrt{2a-2\sqrt{a^2-b}}. \]

Значит, \( \sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{2a-2\sqrt{a^2-b}} \). Тождество доказано.

0 0 Пожаловаться