Найдите все первообразные для функции f(x)=(tgx+ctgx)^2
(Ответ знаю пожалуйста покажите решение)

Используем тождество:

\[ (\tg x+\ctg x)^2=\tg^2x+2\tg x\ctg x+\ctg^2x. \]

Так как \(\tg x\ctg x=1\), получаем:

\[ \tg^2x+2+\ctg^2x. \]

По формулам \(\tg^2x=\frac{1}{\cos^2x}-1\) и \(\ctg^2x=\frac{1}{\sin^2x}-1\):

\[ (\tg x+\ctg x)^2=\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x}. \]

Тогда

\[ \int(\tg x+\ctg x)^2\,dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\frac{dx}{\sin^2x}=\tg x-\ctg x+C. \]

Ответ: \(F(x)=\tg x-\ctg x+C\), где функция определена на промежутках, не содержащих точек \(x=\frac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\).

0 0 Пожаловаться