Докажите три признака прямоугольного треугольника.

Существует три классических признака прямоугольного треугольника. Их можно доказать, опираясь на теорему Пифагора и свойства углов.

1. Признак по теореме Пифагора

Формулировка: Если в треугольнике квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Доказательство:
Пусть есть треугольник с сторонами $a, b, c$, где $c$ — наибольшая сторона.
Если выполняется равенство:

то по теореме Пифагора в треугольнике с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$ угол между катетами равен $90^\circ$.
Следовательно, данный треугольник является прямоугольным.

2. Признак по углу, построенному на диаметре

Формулировка: Если вершины треугольника лежат на окружности, и одна из сторон треугольника является диаметром окружности, то треугольник — прямоугольный.

Доказательство:
Пусть треугольник $ABC$ вписан в окружность, и сторона $AC$ является её диаметром.
По свойству вписанного угла: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.
Значит, угол $B$ прямой, и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

3. Признак по высоте, проведённой к гипотенузе

Формулировка: Если в треугольнике высота, проведённая из вершины на противоположную сторону, делит его на два треугольника, подобных исходному и подобных друг другу, то данный треугольник прямоугольный.

Доказательство:
Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ на сторону $AB$.
Если $\triangle ACH \sim \triangle CHB \sim \triangle ABC$, то подобие возможно только в случае, когда угол $C$ равен $90^\circ$.
Значит, треугольник $ABC$ — прямоугольный.

Таким образом, признаки прямоугольного треугольника:

1. По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$).

2. По вписанному углу, опирающемуся на диаметр.

3. По свойству высоты, проведённой к гипотенузе (подобие треугольников).