Докажите, что треугольник, биссектриса которого совпадает с его высотой, является равнобедренным.

Решение.

Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса угла при вершине $A$ — это отрезок $AD$, причём по условию $AD$ одновременно является высотой, то есть $AD\perp BC$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

• У них общая сторона $AD$.

• Угол при $D$ у обоих прямой: $\angle BDA=\angle CDA=90^\circ$ (потому что $AD\perp BC$).

• Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, то $\angle BAD=\angle CAD$.

Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по признаку $ASA$ (две равные угловые величины и заключённая между ними равная сторона).

Из равенства треугольников сразу получаем равенство соответствующих сторон:

Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный (с основанием $BC$).

Замечание: из той же равенства треугольников следует и $BD=DC$, то есть $AD$ ещё и медиана. Это согласуется с классическим фактом: в равнобедренном треугольнике биссектриса из вершины равных сторон одновременно является высотой и медианой, а в обратную сторону наше доказательство как раз и работает.