Найдите площадь треугольника, если его стороны относятся как 7:15:20, а радиус описанной окружности равен 25.

Для нахождения площади треугольника, когда известны его стороны и радиус описанной окружности, можно воспользоваться формулой, которая связывает площадь треугольника с его сторонами и радиусом описанной окружности. Формула для площади треугольника с радиусом описанной окружности $R$ выглядит так:

где:

• $a, b, c$ — длины сторон треугольника,

• $R$ — радиус описанной окружности.

Из условия задачи нам известна только пропорция сторон $7:15:20$ и радиус окружности $R = 25$. Сначала выразим длины сторон через некую переменную $k$. Пусть стороны треугольника равны:

Теперь подставим эти значения в формулу для площади:

Подставляем $R = 25$:

Упростим:

Для того чтобы найти площадь, нужно определить $k$. Для этого используем формулу для радиуса описанной окружности через стороны треугольника:

Заменим $R = 25$, $a = 7k$, $b = 15k$, $c = 20k$, и $S = 21k^3$:

Упростим это выражение:

Это равенство верно, что подтверждает, что наш выбор сторон треугольника правильный. Теперь мы можем найти площадь, подставив в формулу:

Так как $k = 1$ (из полученного уравнения), то площадь треугольника равна:

Ответ: площадь треугольника равна 21 квадратной единице.