Как найти стороны равнобедренного треугольника, если известны высоты: одна, проведённая к основанию, равна 20 см, а вторая, проведённая к боковой стороне, равна 24 см?

Обозначу равнобедренный $\triangle ABC$ с основанием $BC=b$ и боковыми сторонами $AB=AC=a$. Высота к основанию из вершины $A$ равна $h_a=20$, высота к боковой стороне (пусть к $AB$) из вершины $C$ равна $h_{AB}=24$.

1. Площадь через разные пары «основание–высота»:

Отсюда

2. Высота $AD$ к основанию делит его пополам, поэтому $BD=CD=\tfrac{b}{2}$. В прямоугольном $\triangle ABD$:

Подставляем $a=\tfrac{5}{6}b$:

Тогда

Ответ: основание $BC=30$ см, боковые стороны $AB=AC=25$ см. (Проверка: $S=\tfrac12\cdot 30\cdot 20=300$, высота к стороне $a$: $h=2S/a=600/25=24$, всё сходится.)