Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.

Для того чтобы найти площадь описанного четырехугольника, воспользуемся известной формулой площади для четырехугольников, в которых можно вписать окружность. Эта формула выглядит так:

$S = r \cdot p$

где:

• $S$ — площадь четырехугольника,

• $r$ — радиус вписанной окружности,

• $p$ — полупериметр четырехугольника.

В данной задаче:

• радиус вписанной окружности $r = 5$ см,

• сумма противоположных сторон равна 12 см.

Так как сумма противоположных сторон $a + c = 12$ см, то полупериметр $p$ можно выразить через длины сторон четырехугольника. Для описанного четырехугольника сумма длин всех сторон равна удвоенному полупериметру, то есть:

$p = \frac{a + b + c + d}{2}$

Но также для описанного четырехугольника выполняется важное соотношение, что сумма противоположных сторон равна между собой, т.е. $a + c = b + d$. Это означает, что полупериметр можно выразить через одну из этих сумм:

$p = a + c = 12 \, \text{см}$

Теперь, подставим значения в формулу для площади:

$S = r \cdot p = 5 \cdot 12 = 60 \, \text{см}^2$

Ответ: площадь четырехугольника равна 60 см².