Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на диагональ, делит ее на отрезки 6 и 15. Найдите стороны и диагонали параллелограмма, если известно, что разность сторон равна 7.

Задача заключается в нахождении сторон и диагоналей параллелограмма, если перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ, делит её на отрезки длиной 6 и 15, а разность сторон параллелограмма равна 7.

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, где $a > b$, и диагонали как $d_1$ и $d_2$. Мы знаем следующее:

1. Перпендикуляр, опущенный на диагональ, делит её на два отрезка длиной 6 и 15. Это означает, что длина диагонали $d_1 = 6 + 15 = 21$.

2. Разность сторон параллелограмма $a - b = 7$.

Рассмотрим свойство перпендикуляра, опущенного на диагональ параллелограмма. Он делит диагональ на два отрезка, и площадь параллелограмма можно выразить как сумму площадей двух треугольников, образованных этими отрезками.

Для параллелограмма площадь также выражается через его стороны и угол между ними:

где $\theta$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Площадь параллелограмма можно также выразить через его диагонали и угол между ними:

где $\phi$ — угол между диагоналями $d_1$ и $d_2$.

Теперь, поскольку перпендикуляр делит диагональ, он помогает вычислить площадь через длины отрезков. Мы можем решить систему уравнений для нахождения сторон и диагоналей параллелограмма.