На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка E так, что AE = 4 см, ED = 5 см, BE = 12 см, BD = 13 см. Докажите, что треугольник BED прямоугольный и найдите площадь параллелограмма.

Возьмём декартову систему координат: положим $A(0,0)$, $D(9,0)$ (так как $AD=AE+ED=4+5=9$), тогда точка $E$ имеет координаты $E(4,0)$. Пусть $B=(x,y)$. Тогда, по условию,

Вычтем первое равенство из второго:

Раскрывая скобки,

Подставляя $x=4$ в $(x-4)^2+y^2=144$, получаем $y^2=144$, то есть $y=\pm 12$.

1) Прямоугольность $\triangle BED$.
У нас даны три стороны треугольника $BED$: $BE=12$, $ED=5$, $BD=13$. Проверка по теореме Пифагора:

Значит, треугольник $BED$ прямоугольный с прямым углом при $E$.

2) Площадь параллелограмма $ABCD$.
Вектор $AB=(x,y)=(4,\pm 12)$, а $AD=(9,0)$. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения:

Ответ: $\triangle BED$ прямоугольный (прямой угол при $E$); площадь параллелограмма $108\ \text{см}^2$.