Как найти катет или гипотенузу, если известна площадь и все углы?

Раз речь о катете и гипотенузе, треугольник прямоугольный: один угол $90^\circ$, два острых — пусть это $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha+\beta=90^\circ$). Пусть катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$, площадь $S$.

База:

Формулы через один из острых углов ($\alpha$)

Из $S=\tfrac12ab$ и $\tan\alpha=\tfrac{a}{b}$ получаем:

Гипотенуза выражается так:

Формулы симметрично через оба острых угла

Поскольку $\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}$, то:

Короткий алгоритм

1. Возьмите любой острый угол ($\alpha$).

2. Посчитайте $a=\sqrt{2S\tan\alpha}$, $b=\sqrt{2S/\tan\alpha}$.

3. При необходимости найдите $c=\sqrt{4S/\sin(2\alpha)}$.

Эти формулы однозначно восстанавливают катеты и гипотенузу по площади и известным углам.