В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.

Раз точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит её на отрезки 5 см и 12 см, то сама гипотенуза равна
$c=5+12=17$ см.

В любом треугольнике длины отрезков, на которые точка касания делит сторону, равны $s-a$ и $s-b$, где $s$ — полупериметр, а $a$ и $b$ — прилежащие к этой стороне стороны. Для прямоугольного треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$ имеем:

Без потери общности положим $s-a=12,\ s-b=5$. Тогда

Также по теореме Пифагора:

Найдём $ab$ через разность квадратов:

Тогда

Решая систему

Ответ: катеты равны 8 см и 15 см.