Можно ли вписать окружность в квадрат и почему?

Да, в квадрат можно вписать окружность — и притом единственную.

Почему это возможно:

1. Квадрат — правильный четырёхугольник: все стороны равны, все углы прямые. В любом правильном многоугольнике существует окружность, касающаяся всех его сторон (вписанная).

2. У квадрата биссектрисы углов (а это просто диагонали) пересекаются в одной точке и расположены симметрично. Эта точка равноудалена от всех четырёх сторон — значит, она и есть центр вписанной окружности.

3. Расстояние от центра квадрата до любой стороны равно половине длины стороны. Если сторону квадрата обозначить за $a$, то диаметр окружности равен $a$, а радиус $r=\tfrac{a}{2}$.

Конструкция на практике:

• Провести обе диагонали квадрата — их пересечение даст центр окружности.

• Провести перпендикуляр от центра к любой стороне: его длина и есть радиус.

• Окружность с этим центром и радиусом коснётся всех четырёх сторон.

Почему окружность единственная:

• Центр вписанной окружности обязан быть равноудалён от всех сторон. В квадрате только одна такая точка — пересечение диагоналей, следовательно окружность одна.