В цилиндр вписан шар так, что основания цилиндра касаются шара. Объем шара равен V. Найдите объем цилиндра.

Если в цилиндр вписан шар таким образом, что основания цилиндра касаются шара, то радиус основания цилиндра и радиус шара одинаковы. Пусть радиус шара равен $r$, тогда радиус основания цилиндра также будет равен $r$.

Объем шара выражается формулой:

Где $V_{\text{шар}}$ — объем шара, а $r$ — радиус шара.

Объем цилиндра с радиусом основания $r$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

Поскольку основание цилиндра касается шара, а его высота равна диаметру шара (то есть $h = 2r$), подставим это значение в формулу объема цилиндра:

Теперь, зная объем шара $V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3$, можем выразить $r^3$ через объем шара:

Подставим это выражение в формулу для объема цилиндра:

Таким образом, объем цилиндра равен $\frac{3}{2}$ объема шара.