В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC медиана BD равна половине стороны AC. Найдите углы треугольника ABC.

Так как треугольник равнобедренный с основанием $AC$, медиана $BD$ к основанию одновременно является и высотой, и биссектрисой: $AD=DC$ и $\angle BDA=\angle BDC=90^\circ$, а также $\angle ABD=\angle DBC$.

По условию $BD=\tfrac12 AC$. Но $AD=\tfrac12 AC$ (так как $D$ — середина $AC$). Значит, в прямоугольном треугольнике $ABD$ катеты равны: $BD=AD$. Следовательно, $\triangle ABD$ — равнобедренный прямоугольный, и $\angle BAD=\angle ABD=45^\circ$.

Тогда $\angle ABC=2\angle ABD=90^\circ$, а углы при основании равны:

Ответ: $\angle A=\angle C=45^\circ,\ \angle B=90^\circ.$