Основа равнобедренного треугольника равна \(4\sqrt{2}\), а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 5. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где основание
$AC = 4\sqrt{2}$, а боковые стороны равны: $AB = BC = b$.

Медиана проведена к боковой стороне, например к стороне $AB$.
Обозначим точку середины стороны $AB$ через $M$. Тогда
$AM = MB = \dfrac{b}{2}$, а по условию

Чтобы удобно считать, разместим треугольник в декартовой системе координат:

• точка $M$ — в начале координат: $M(0,0)$;

• пусть $AB$ лежит на оси $Ox$: тогда

  $$A\left(-\frac{b}{2}, 0\right), \quad B\left(\frac{b}{2}, 0\right);$$

• точка $C$ имеет координаты $(x, y)$.

Теперь запишем условия задачи в виде уравнений.

1. Медиана $CM = 5$, значит расстояние от $C$ до $M(0,0)$:

   $$CM^2 = x^2 + y^2 = 25. \tag{1}$$

2. Боковая сторона $BC = b$. Расстояние от $C(x,y)$ до $B\left(\frac{b}{2},0\right)$:

   $$BC^2 = \left(x - \frac{b}{2}\right)^2 + y^2 = b^2. \tag{2}$$

3. Основание $AC = 4\sqrt{2}$. Расстояние от $C(x,y)$ до $A\left(-\frac{b}{2},0\right)$:

   $$AC^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 + y^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32. \tag{3}$$

Теперь упростим (2) и (3), используя (1).

Из (2):

Подставляем $x^2 + y^2 = 25$ из (1):

Из (3):