Основание равнобедренного треугольника ABC равно 40, боковая сторона 29. Найдите площадь треугольника ABC.

Найдем площадь равнобедренного треугольника $ABC$, если основание $AC = 40$, а боковые стороны $AB = BC = 29$.

1. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины на основание, является также медианой и биссектрисой.
   Значит, если опустить высоту $BH$ на основание $AC$, то точка $H$ — середина основания.

2. Тогда основание делится пополам:

   $$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20.$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$:
   в нем $AB = 29$ — гипотенуза, $AH = 20$ — один катет, $BH$ — второй катет (это и есть высота треугольника).

   По теореме Пифагора:

   $$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 29^2 - 20^2.$$

4. Посчитаем:

   $$29^2 = 841, \quad 20^2 = 400,$$ $$BH^2 = 841 - 400 = 441.$$ $$BH = \sqrt{441} = 21.$$

   Значит, высота треугольника $BH = 21$.

5. Площадь треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 21.$$ $$S = 20 \cdot 21 = 420.$$

Ответ: площадь треугольника $ABC$ равна $420$.