В треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена. Докажите, что один из углов этого треугольника равен сумме двух других.

Обозначу $ABC$ — исходный треугольник, $M$ — середина стороны $BC$. По условию $AM$ — медиана и

Но $M$ — середина $BC$, значит

Отсюда немедленно получаем

Следовательно, точки $A,B,C$ лежат на окружности с центром в $M$ (радиус этой окружности равен $AM$). Итак, $M$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Поскольку $M$ — середина отрезка $BC$ и одновременно центр окружности, прямая $BC$ проходит через центр окружности. Это возможно только в том случае, когда $BC$ — диаметр описанной окружности.

По теореме Фалеса угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит,

А в любом треугольнике $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$. Отсюда при $\angle A=90^\circ$ имеем

Следовательно, один из углов треугольника (именно угол при вершине $A$, противолежащей стороне, к которой проведена медиана) равен сумме двух других углов, что и требовалось доказать.