Докажите, что равносторонние треугольники равны, если равны их высоты.

Для доказательства того, что два равносторонних треугольника равны, если равны их высоты, рассмотрим следующие рассуждения:

Пусть даны два равносторонних треугольника. Обозначим их как $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, причем высоты этих треугольников равны.

1. Свойства равностороннего треугольника:
   В равностороннем треугольнике все стороны равны, и высота делит его на два равных прямоугольных треугольника. Таким образом, высота $h$ в равностороннем треугольнике выражается через сторону $a$ по формуле:

   $$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$

   Где $a$ — длина стороны треугольника.

2. Равенство высот:
   Пусть высоты двух равносторонних треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ равны. Обозначим их как $h_1$ и $h_2$, соответственно. Тогда:

   $$h_1 = h_2$$

3. Используем связь высоты и стороны:
   Для каждого треугольника высота $h$ связана с длиной стороны $a$ по формуле $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$. Поскольку высоты равны, то из этого следует, что стороны треугольников также равны, потому что:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} a'$$

   Отсюда $a = a'$, где $a$ и $a'$ — стороны треугольников.

4. Равенство треугольников:
   Поскольку у нас два равносторонних треугольника с равными сторонами, то по признаку равенства треугольников (по стороне) эти треугольники равны.

Таким образом, мы доказали, что если два равносторонних треугольника имеют равные высоты, то их стороны равны, и, следовательно, эти треугольники равны.