Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Чтобы доказать, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны, нужно воспользоваться свойствами тангенциального четырёхугольника.

Четырёхугольник называется тангенциальным, если в него можно вписать окружность. Это означает, что существует такая окружность, которая касается каждой стороны четырёхугольника в одной точке.

Обозначим стороны четырёхугольника как $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$, где $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины четырёхугольника. Пусть $I$ — центр вписанной окружности, а $P$, $Q$, $R$, $S$ — точки касания окружности с соответствующими сторонами.

Согласно теореме о тангенциальных четырёхугольниках, для любого тангенциального четырёхугольника выполняется следующее соотношение:

Это свойство следует из того, что длины отрезков, образующих касательные к вписанной окружности из одной вершины, равны. Обозначим эти отрезки следующим образом:

• $x =$ длина отрезка касательной от вершины $A$ до точки касания с окружностью,

• $y =$ длина отрезка касательной от вершины $B$ до точки касания с окружностью,

• $z =$ длина отрезка касательной от вершины $C$ до точки касания с окружностью,

• $w =$ длина отрезка касательной от вершины $D$ до точки касания с окружностью.

Из этого следует, что:

Теперь сложим длины противоположных сторон:

1. Сумма длин сторон $AB$ и $CD$:

2. Сумма длин сторон $BC$ и $DA$:

Таким образом, получаем:

Это и есть требуемое равенство, которое доказывает, что для тангенциального четырёхугольника сумма длин противоположных сторон равна.