В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, CH — высота, ВС = 5, косинус угла А = 7/25. Найдите BH.

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, то есть это прямоугольный треугольник. CH — высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB. Нам нужно найти длину отрезка BH.

Для этого сначала определим некоторые важные элементы.

1. Используем косинус угла A. Косинус угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB. Из условия задачи нам известно, что:

   $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{25}$$

2. Преобразуем это выражение. Пусть длина гипотенузы AB равна $x$. Тогда:

   $$\frac{AC}{x} = \frac{7}{25}, \quad AC = \frac{7}{25} \cdot x$$

3. Используем теорему Пифагора для треугольника ABC. В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

   $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

   Подставляем значения:

   $$\left(\frac{7}{25} \cdot x\right)^2 + 5^2 = x^2$$

   Упростим:

   $$\frac{49}{625} \cdot x^2 + 25 = x^2$$

4. Решаем уравнение. Переносим все слагаемые в одну сторону:

   $$\frac{49}{625} \cdot x^2 - x^2 = -25$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$\frac{49}{625} \cdot x^2 - \frac{625}{625} \cdot x^2 = -25$$ $$\frac{-576}{625} \cdot x^2 = -25$$

   Умножаем обе стороны на $-625$, чтобы избавиться от знаменателя:

   $$576 \cdot x^2 = 25 \cdot 625$$ $$576 \cdot x^2 = 15625$$

   Теперь делим обе стороны на 576:

   $$x^2 = \frac{15625}{576}$$ $$x^2 = 27.1 \quad \text{(приближенно)}$$

   Таким образом, длина гипотенузы $x \approx 5.2$.

5. Нахождение BH. В прямоугольном треугольнике, высота CH делит гипотенузу AB на два отрезка, которые пропорциональны квадратам катетов. Используем пропорциональность:

   $$\frac{BH}{BC} = \frac{AC}{AB}$$

   Подставляем известные значения:

   $$\frac{BH}{5} = \frac{7}{25}$$

   Отсюда:

   $$BH = \frac{7}{25} \cdot 5 = 1.4$$

Таким образом, длина отрезка BH составляет 1.4.