В треугольнике ABC АС = ВС, AH – высота, AB = 5, sin BAC = 7/25. Найдите BH.

Для того чтобы найти $BH$, нужно использовать информацию о геометрии треугольника и свойствах синусов. Давайте шаг за шагом решим задачу.

1. Сначала определим угол $\angle BAC$.

   Из условия задачи дано, что $\sin \angle BAC = \frac{7}{25}$. Это означает, что угол $\angle BAC$ имеет синус, равный $\frac{7}{25}$.

2. Рассмотрим треугольник ABC.

   Поскольку $AC = BC$, треугольник ABC — это равнобедренный треугольник. Также, высота $AH$ будет перпендикулярна основанию $BC$, и она делит основание пополам, то есть $BH = HC$.

3. Используем свойства синуса в треугольнике.

   Для треугольника $ABH$ рассмотрим синус угла $\angle BAC$. Мы можем использовать определение синуса:

   $$\sin \angle BAC = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB}.$$

   Зная, что $AB = 5$, получаем:

   $$\frac{AH}{5} = \frac{7}{25}.$$

   Тогда $AH$ можно вычислить как:

   $$AH = 5 \cdot \frac{7}{25} = \frac{35}{25} = \frac{7}{5}.$$

4. Рассчитаем длину $BH$.

   В треугольнике $ABH$ используем теорему Пифагора. Гипотенуза $AB = 5$, а одна из сторон $AH = \frac{7}{5}$. Найдем $BH$:

   $$AB^2 = AH^2 + BH^2.$$

   Подставим известные значения:

   $$5^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 + BH^2.$$

   Это даёт:

   $$25 = \frac{49}{25} + BH^2.$$

   Переведем 25 в дробь с одинаковым знаменателем:

   $$\frac{625}{25} = \frac{49}{25} + BH^2.$$

   Теперь вычитаем $\frac{49}{25}$ из обеих частей:

   $$\frac{625}{25} - \frac{49}{25} = BH^2,$$ $$\frac{576}{25} = BH^2.$$

   Из этого находим $BH$:

   $$BH = \frac{\sqrt{576}}{5} = \frac{24}{5}.$$

Таким образом, длина отрезка $BH$ равна $\frac{24}{5}$.