Две меньшие стороны прямоугольной трапеции равны по 4 см, а один из углов равен 45°. Найти площадь трапеции.

Для нахождения площади прямоугольной трапеции, нужно сначала определить все её элементы. Рассмотрим прямоугольную трапецию, где две меньшие стороны равны по 4 см, и один из углов равен 45°.

1. Определим, что известно:

   • Два боковых ребра трапеции равны 4 см.

   • Один из углов трапеции равен 45°.

2. Построение:
   Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла. Из условия задачи, угол 45° – это угол между одной из боковых сторон и основанием. Если обозначить основание трапеции за $AB$, то угол между боковой стороной $AD$ и основанием $AB$ будет 45°.

3. Найдем высоту трапеции:
   Так как угол 45° прямой, то высота трапеции, которая перпендикулярна основанию $AB$, будет равна длине боковой стороны, умноженной на синус угла. Для угла 45° синус равен $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

   Таким образом, высота $h$ трапеции будет:

   $$h = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}.$$

4. Найдем длину основания трапеции:
   Если угол 45° является углом между боковой стороной и основанием, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины основания. Из треугольника, образованного высотой и боковой стороной, известно, что гипотенуза равна 4 см, а высота — $2\sqrt{2}$ см.

   Тогда длина основания $AB$ вычисляется по теореме Пифагора:

   $$AB^2 = 4^2 - (2\sqrt{2})^2 = 16 - 8 = 8,$$ $$AB = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ см}.$$

5. Нахождение площади трапеции:
   Площадь трапеции можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h,$$

   где $AB$ — длина одного основания, $CD$ — длина другого основания (которое равняется 4 см), и $h$ — высота.

   Подставляем все известные значения:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2} + 4) \cdot 2\sqrt{2}.$$

   Упростим:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2} + 4) \cdot 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2} + 8) = 2\sqrt{2} + 4.$$

   Таким образом, площадь трапеции равна $2\sqrt{2} + 4$ см².