В прямоугольном параллелепипеде основанием является квадрат. Диагональ параллелепипеда равна d и образует угол α с боковым ребром, имеющим с ней общее начало. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть у прямоугольного параллелепипеда сторона квадрата основания равна $a$, а высота (боковое ребро) — $h$. Тогда пространственная диагональ из той же вершины имеет длину

По условию диагональ образует угол $\alpha$ с боковым ребром $h$, имеющим с ней общее начало. Косинус угла между вектором диагонали $(a,a,h)$ и вектором бокового ребра $(0,0,h)$:

Значит,

Подставляя в выражение для $d$:

откуда

Объём $V$ равен $V=a^2h$. Тогда

Ответ: