Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости альфа. АС=5 см, АВ=13 см. Найдите угол между плоскостями альфа и АВС, если расстояние от точки В до плоскости альфа равно 6 см.

Пусть $\alpha$ содержит отрезок $AC$, а плоскость $ABC$ пересекает $\alpha$ по прямой $AC$. Угол между плоскостями равен двугранному углу при ребре $AC$.

В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$) по теореме Пифагора:

Рассмотрим плоскость, перпендикулярную $AC$ и проходящую через $B$. В ней прямая, лежащая в плоскости $ABC$ и перпендикулярная $AC$, — это $BC$; а прямая, лежащая в $\alpha$ и перпендикулярная $AC$, — проекция $BC$ на $\alpha$. Поэтому синус угла $\varphi$ между плоскостями равен отношению расстояния от точки $B$ до $\alpha$ к длине $BC$:

Отсюда $\varphi=30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.