В трапеции ABCD с основаниями AD = 13 и BC = 7 точка K — середина BD, а луч AK — биссектриса угла CAD. Найдите длину диагонали AC.

Для решения задачи используем геометрические свойства трапеции и теорему о биссектрисе.

Дано, что трапеция ABCD, где $AD = 13$ и $BC = 7$, точка $K$ — середина диагонали $BD$, а луч $AK$ является биссектрисой угла $\angle CAD$. Необходимо найти длину диагонали $AC$.

Шаг 1. Вспоминаем теорему о биссектрисе

Теорема о биссектрисе утверждает, что биссектрисы углов в треугольнике делят противоположные стороны в пропорции, равной прилегающим сторонам.

Поскольку $AK$ — биссектриса угла $\angle CAD$, то она делит сторону $CD$ в пропорции, равной основаниям трапеции $AD$ и $BC$, то есть:

Шаг 2. Рассмотрим треугольник $ABD$

Так как $K$ — середина диагонали $BD$, то $BK = KD$. Следовательно, мы имеем:

Пусть $KD = x$. Тогда $CK = \frac{13}{7} \cdot x$.

Теперь выражение для длины стороны $CD$ можно записать как:

Шаг 3. Работаем с треугольником $ACD$

В треугольнике $ACD$ биссектриса $AK$ делит угол $\angle CAD$ пополам, и таким образом точка $K$ делит диагональ $AC$ пропорционально сторонам трапеции. То есть длина диагонали $AC$ будет связана с основаниями трапеции через пропорцию:

Зная, что $AK$ — биссектриса, и принимая во внимание, что вся диагональ $AC$ имеет длину $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$, нам удается найти, что длина диагонали $AC = 12$.