Найдите сторону правильного шестиугольника и радиус описанной окружности, если радиус вписанной окружности равен: а) 17 см б) 18√3

Для нахождения стороны правильного шестиугольника и радиуса описанной окружности, если радиус вписанной окружности известен, можно воспользоваться геометрическими свойствами правильного шестиугольника.

1. Свойства правильного шестиугольника:

   • Радиус вписанной окружности (rₙ) равен расстоянию от центра шестиугольника до середины стороны. Для правильного шестиугольника это также является высотой каждого из равносторонних треугольников, на которые шестиугольник делится.

   • Радиус описанной окружности (R) равен длине стороны шестиугольника.

2. Связь радиусов:
   Для правильного шестиугольника существует следующая связь между радиусами вписанной и описанной окружности:

   • Радиус вписанной окружности (rₙ) и радиус описанной окружности (R) связаны формулой:

     $$rₙ = \frac{R \sqrt{3}}{2}$$

     Следовательно, радиус описанной окружности можно выразить как:

     $$R = \frac{2 rₙ}{\sqrt{3}}$$

   Также длина стороны шестиугольника равна радиусу описанной окружности:

   $$\text{сторона} = R$$

Решение для каждого случая:

а) Радиус вписанной окружности равен 17 см:

1. Сначала находим радиус описанной окружности:

   $$R = \frac{2 \times 17}{\sqrt{3}} = \frac{34}{\sqrt{3}} = \frac{34 \sqrt{3}}{3} \approx 19.62 \text{ см}$$

2. Длина стороны шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то есть:

   $$\text{сторона} = 19.62 \text{ см}$$

б) Радиус вписанной окружности равен 18√3 см:

1. Находим радиус описанной окружности:

   $$R = \frac{2 \times 18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 36 \text{ см}$$

2. Длина стороны шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то есть:

   $$\text{сторона} = 36 \text{ см}$$

Ответ:

а) Сторона шестиугольника ≈ 19.62 см, радиус описанной окружности ≈ 19.62 см.
б) Сторона шестиугольника = 36 см, радиус описанной окружности = 36 см.