В каждом задании необходимо выполнить рисунок. В треугольнике ABC сторона AB = 16, ∠A = 40°, ∠C = 65°. Определите длины сторон: а) BC; б) AC.

Как это решить (и что нарисовать).

Рисунок. Сделайте схематический чертёж: треугольник $ABC$, против вершины $A$ — сторона $BC$, против $B$ — $AC$, против $C$ — $AB$. На чертеже отметьте: $\angle A=40^\circ$, $\angle C=65^\circ$, сторона $AB=16$.

1) Найдём третий угол.

2) Закон синусов. При обозначениях $a=BC$ (напротив $\angle A$), $b=AC$ (напротив $\angle B$), $c=AB=16$ (напротив $\angle C$):

а) Сторона $BC=a$:

б) Сторона $AC=b$:

Проверка на здравый смысл. Самый большой угол — $B=75^\circ$, напротив него сторона $AC$, и действительно $AC\approx17{,}05$ — самая длинная; далее $AB=16$; самая короткая — $BC\approx11{,}35$. Всё согласуется.

Ответ:
а) $BC\approx 11{,}35$;
б) $AC\approx 17{,}05$.