Один из углов равнобедренной трапеции равен 150°. Вычисли площадь трапеции, если её меньшее основание равно 10 см, а боковая сторона равна 34√3 см.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $AB\parallel CD$, причём $AB$ — меньшее основание, $AB=10$ см, а боковые стороны равны:

1) Какие углы у трапеции?

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны попарно, а соседние (лежащие на одной боковой стороне) в сумме дают $180^\circ$, потому что основания параллельны.

Если один из углов равен $150^\circ$, то угол, соседний с ним по боковой стороне, равен:

Значит, два угла будут по $150^\circ$ (при одном основании), а два — по $30^\circ$ (при другом основании). Поскольку меньшее основание $AB$ “сверху” короче, то при нём обычно находятся тупые углы, то есть углы при меньшем основании равны $150^\circ$, а при большем основании — $30^\circ$.

2) Высота трапеции

Опустим высоты из концов меньшего основания $AB$ на большее основание $CD$. Получатся два равных прямоугольных треугольника по краям.

В каждом таком треугольнике гипотенуза — боковая сторона $34\sqrt3$, а угол при большем основании равен $30^\circ$. Тогда высота $h$ — это противолежащий катет:

3) Разность оснований

Пусть $x$ — горизонтальная “приставка” с каждой стороны, тогда

В том же прямоугольном треугольнике $x$ — прилежащий катет к углу $30^\circ$:

Тогда большее основание:

4) Площадь

Площадь трапеции:

Ответ: $\boxed{1037\sqrt3\ \text{см}^2}$.