Медиана AM треугольника ABC равна отрезку BM. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.

Пусть $M$ — середина $BC$, так что $AM$ — медиана. По условию $AM=BM$. Но так как $M$ — середина, то $BM=CM$. Следовательно,

то есть точка $M$ равноудалена от вершин $A,B,C$. Значит, $M$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Так как $B,M,C$ коллинеарны, центральный угол $\angle BMC$, опирающийся на дугу $BC$, равен $180^\circ$. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $BC$, — это $\angle BAC$, и он равен половине центрального:

Итак, треугольник прямоугольный с прямым углом при $A$. Тогда

то есть один из углов треугольника (угол при $A$) равен сумме двух других углов. Что и требовалось доказать.