Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Продлим сторону $AB$ за точку $B$ и обозначим внешний (смежный с внутренним при вершине $B$) угол $\angle CBD$.

1. Так как $\angle ABC$ и $\angle CBD$ — смежные, то

2. Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$:

3. Вычтем из этих равенств $\angle ABC$. Получим

То есть внешний (смежный) угол $\angle CBD$ равен сумме двух внутренних углов треугольника, не прилежащих к нему.

4. Поскольку сумма двух положительных углов больше каждого из слагаемых, имеем

Тем самым смежный с углом треугольника внешний угол больше каждого из двух других углов треугольника.