Докажите, что равносторонний треугольник ABC отображается на себя при повороте вокруг точки O на 120 градусов по часовой стрелке, где O — точка пересечения его медиан.

Решение.

В равностороннем треугольнике $ABC$ все медианы совпадают с биссектрисами и серединными перпендикулярами, поэтому их точка пересечения $O$ является одновременно центром описанной окружности. Значит,

Рассмотрим центральный угол $\angle AOB$. Он опирается на дугу $AB$ описанной окружности. Инсcribed угол $\angle ACB$, опирающийся на ту же дугу, равен $60^\circ$ (угол треугольника $ABC$). Центральный угол вдвое больше вписанного, следовательно

Теперь заметим: поворот вокруг $O$ на $120^\circ$ по часовой стрелке — это изометрия, сохраняющая расстояния от $O$. Так как $OA=OB$ и $\angle AOB=120^\circ$, такой поворот единственным образом переводит точку $A$ в точку $B$. По тем же причинам он переводит $B$ в $C$, а $C$ в $A$.

Раз вершины переходят циклически $A\to B\to C\to A$, то стороны переходят соответственно $AB\to BC$, $BC\to CA$, $CA\to AB$. Следовательно, при повороте на $120^\circ$ вокруг $O$ треугольник $ABC$ отображается на себя.