Дано куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 2 см. Найдите расстояние от точки O — точки пересечения диагоналей куба, до прямой AB.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a=2$ см. Точка $O$ — точка пересечения пространственных диагоналей куба, то есть центр куба.

Удобно ввести координаты. Пусть:

• $A(0,0,0)$,

• $B(2,0,0)$,

• $C(2,2,0)$,

• $D(0,2,0)$,

• верхние вершины имеют $z=2$.

Тогда центр куба:

Прямая $AB$ — это ребро от $A(0,0,0)$ к $B(2,0,0)$. Значит, она лежит на оси $x$ при условиях $y=0,\ z=0$. То есть любая точка на $AB$ имеет вид $(t,0,0)$, где $0\le t\le 2$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра из точки к этой прямой. Для прямой $AB$ направление вдоль оси $x$, поэтому ближайшая к $O(1,1,1)$ точка на прямой должна иметь тот же $x$, то есть $t=1$. Получаем точку

Тогда искомое расстояние равно $OP$:

Ответ: расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно $\boxed{\sqrt{2}\text{ см}}$.