Найдите радиус вписанной окружности и периметр правильного четырёхугольника, если радиус описанной окружности равен \(16\sqrt{2}\) дм.

Правильный четырёхугольник — это квадрат. Пусть его сторона равна $a$.

1) Связь радиуса описанной окружности со стороной квадрата

У квадрата диагональ равна $a\sqrt{2}$. Центр описанной окружности — это точка пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали:

По условию $R=16\sqrt{2}$ дм, значит

Умножим обе части на $\sqrt{2}$:

2) Радиус вписанной окружности

Вписанная окружность в квадрат касается всех сторон, поэтому её радиус равен половине стороны:

3) Периметр квадрата

Ответ: радиус вписанной окружности $r=16$ дм, периметр $P=128$ дм.