Прямоугольный треугольник с углом 60 градусов и гипотенузой 10√3 см вращается вокруг большего катета. Найдите объем полученного тела вращения.

Для того чтобы найти объем полученного тела вращения, нужно учитывать, что при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов получается конус. В данном случае треугольник вращается вокруг большего катета, поэтому полученное тело — это конус, у которого основание будет окружностью, а высота — меньшим катетом треугольника.

1. Находим стороны треугольника:
   Дано прямоугольный треугольник с углом 60 градусов и гипотенузой 10√3 см.

   В прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов (то есть углом 60° между катетами) отношение сторон будет следующим:

   • гипотенуза $c = 10\sqrt{3}$,

   • больший катет $a$ — это катет, лежащий напротив угла 60°, и его длина будет равна $a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times c$,

   • меньший катет $b$ — это катет, лежащий напротив угла 30°, и его длина будет равна $b = \frac{1}{2} \times c$.

   Подставляем значение гипотенузы $c = 10\sqrt{3}$:

   • $a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10\sqrt{3} = 15$ см,

   • $b = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ см.

2. Найдем объем конуса:
   Теперь, когда мы знаем длины катетов, можем применить формулу для объема конуса:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

   Где:

   • $r$ — радиус основания конуса, равный длине большего катета $a = 15$ см,

   • $h$ — высота конуса, равная длине меньшего катета $b = 5\sqrt{3}$ см.

   Подставляем значения:

   $$V = \frac{1}{3} \pi (15)^2 (5\sqrt{3})$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \times 225 \times 5\sqrt{3}$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \times 1125\sqrt{3}$$ $$V = 375\pi\sqrt{3} \, \text{см}^3$$

Таким образом, объем полученного тела вращения равен $375\pi\sqrt{3}$ см³.